数学

指数を使えるようになろう!

こんにちは、MSKです。
数学を学んでいても、組み込み系のエンジニアとして働いていても、使う頻度が高い指数・対数ですが、今回はそのうちの指数についての定義から始めて性質・計算方法を書いていきたいと思います!

指数とは

指数の定義

指数とは、数値の表記方法の1つで同じ数字を何個掛け合わせたかを、その数字の右肩に書くことです。
(正確には右肩の数字を指数、同じ数値をかけたものを累乗と言います。)
右肩に乗っている数字をx、xが乗っている数をsとするとs^xと書き、sのxと言います。

2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 (2の4乗)
1000 = 10^3 (10の3乗)

見て気づいた人もいると思いますが、指数表記のメリットは大きな数値を簡潔に表現できることです。

地球の表面積 = 約51 \times 10^7 km^2

中学校までの数学では指数表記を行う時の右肩の数字は正の整数でしたが、それ以外の数値も扱えます

指数が負の数の場合

定義から言います。

定義(負の指数)

s^{-x} := (\frac{1}{s})^x

sの-x乗はsの逆数\frac{1}{s}のx乗になります。
これは下で紹介する指数法則を成り立たせるために、このように定義されています。

※正の整数の場合に、指数は同じ数字が何個掛けあわされているかを表していると書きましたが、負の指数の場合、その数値の逆数が何個掛け合わされているかを表しています。

\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = (\frac{1}{3}) ^5
0.00000000012 = 12 \times 10^{-11}

正の整数の指数の場合は大きな数を簡潔に表現するのに都合が良かったですが、上の例からも分かるように負の指数は1よりずっと小さな数値を表現するのに都合が良いです。

指数が分数の場合

分数も指数として持つことができます。
こちらも本当は指数法則を成り立たせることが目的です。
先に定義から述べます。

定義(分数の指数)

s^{\frac{1}{x}} := \sqrt[x]{s} (x乗してsになる数値)

指数が分数の場合は正の整数・負の整数の場合と比べて難しく、x乗してsになるような数値(sのx乗根)になります。

2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}

指数法則

指数の計算を行う際に便利な法則があります。
その法則を紹介します。

指数法則

sとtを正の実数、xとyは実数とします。

(1) s^x \times s^y = s^{x+y}
(2) (s^x)^y = s^{x \times y}
(3) (s \times t)^x = s^x \times t^x
(4) (\frac{s}{t})^x = \frac{s^x}{t^x}
(5) s^0 = 1

指数法則が述べていることは

  • 同じ数値の指数表示同士の掛け算は指数の足し算になる
  • 指数表示された数値の累乗は指数の掛け算になる
  • 指数は分配法則が成り立つ
  • 0乗は1とみなす

ということです。

次から具体的な計算を行っていきたいと思います。
 

指数の計算をしよう

まずは指数法則の(1)を使った計算をしてみましょう!
問題の回答は最後に書いています。

例題1

3^2 \times 3^3 = 3^{2+3} = 3^5

問題1

次を簡単にしてください。(指数表記のままで回答してください。)

(1) 2^4 \times 2^3

(2) 10^3 \times 10^5

(3) 2^3 \times 10^2 \times 2^8 \times 10^3

(4) 5^{12} \times 5^{-4}

(5) 3^2 \div 3^8

(6) 7^2 \times 7^{-5} \times 7^3

次に指数法則の(2)、(3)、(4)を使う計算をしてみましょう!

例題2

(13^3)^9 = 13^{3 \times 9} = 13^{27}

(2 \times 3)^5 = 2^5 \times 3^5

(\frac{3}{5})^2 = \frac{3^2}{5^2}

問題2

(1) (6^2)^3

(2) (3^3)^{-2}

(3) (3 \times 13)^{-3}

(4) (2^{-4} \times 7^2)^8

(5) (\frac{2}{11})^{\frac{1}{3}}

(6) (\frac{(3^{-2})^{3}}{(2^2)^4})^\frac{1}{2}

まとめ

指数は物理やコンピュータの世界、株式などの投資の世界などいろいろなところに登場します。
今回は指数の定義と指数法則を紹介した後、計算を具体的に行いました。

いろんな分野で使われるので、指数の計算はいつでもできるようにしておきたいですね。
最後までご覧いただき、ありがとうございます。

以上、「指数を使えるようになろう!」でした。

問題の回答

ABOUT ME
MSK
九州在住の組み込み系エンジニアです。 2児の父親でもあります。 数学やプログラミングが趣味です。 最近Webプログラミングと曲面結び目理論にはまっています。