双子素数とは何か？──謎に満ちた“2つで1組”の素数たち

前回の記事「素数にも“リズム”がある？──間隔に注目した素数のビート」では、素数同士の出現間隔（ギャップ）に注目し、その分布が一見ランダムでありながら、どこか規則性を感じさせる“素数のビート”を探求しましたね。

素数の並びの中では2、4、6といった間隔が頻繁に現れましたが、その中でもひときわシンプルで美しいのが、間隔2です。今回は、この特別な間隔で隣り合う素数のペアに、ぐっと焦点を当ててみましょう。

まるで仲良く肩を並べて歩く双子のように現れるこのペアは、数学者たちを長年魅了し続けている謎に満ちた存在です。
素数が奏でる”2拍子”のリズムの謎に迫ってみましょう。

双子素数 – “2つで1組”の特別な関係

まずはこの「2」という間隔で隣り合う素数のペアに名前をつけましょう。

具体例を見ると、イメージが湧きやすいでしょう。

こうして並べてみると、本当に双子のように素数が現れるのが面白いですよね。そして、この双子素数をじっと眺めていると、ある美しい性質が隠れていることに気づきます

上の例で見てみましょう。
(5 , 7)の間は６。

(11 , 13)の間は12。

(17, 19)の間は18。

(29, 31)の間は30。

本当ですね。
これは一体なぜなのでしょうか？少しだけ数学の世界を覗いて、この秘密を解き明かしてみましょう。

では、上の性質を証明しましょう。

定義から始める双子素数探索 ─ PythonとRustで実装してみよう

ここでは、「完全数を見つけるプログラムをもっと速く！メルセンヌ素数で改善してみよう」などの記事で使った素数判定の関数を再利用し、双子素数 (p,p+2)を定義に基づいて列挙するプログラムを作成してみます。

まずはPythonでプログラムを作ります。

# 素数判定を行う関数
def is_prime(n):
    # 2未満の数は素数ではない
    if n < 2:
        return False
    # (*1) 2から√nまでの数で割り切れるか調べる
    for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
        if n % i == 0:
            # 割り切れたら素数ではない
            return False
    # 割り切れる数がなければ素数
    return True


def find_twin_primes(limit):
    """limit 以下の双子素数 (p, p+2) をリストアップする関数"""
    twin_primes = []
    # pとp+2を調べるので、2からlimit-2までループ
    for p in range(2, limit - 1):
        if is_prime(p) and is_prime(p + 2): # pとp+2どちらも素数なら双子素数
            twin_primes.append((p, p + 2))
    return twin_primes


if __name__ == '__main__':
    limit = 10000
    twin_primes = find_twin_primes(limit)
    print(f"{limit} 以下の双子素数の個数 : {len(twin_primes)}")
    print(f"{limit} 以下の双子素数: {twin_primes}")

このプログラムを実行すると以下のようになります。

10000 以下の双子素数の個数 : 205
10000 以下の双子素数: [(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), ・・・(省略)]

このプログラムでは、2 からlimit−2までの数pに対して、pとp+2がどちらも素数であれば双子素数と判定し、そのペアをリストに追加しています。定義そのものをコードに落とし込んだ素直な実装です。

前回の記事「素数にも“リズム”がある？──間隔に注目した素数のビート」でも紹介した primerange を使うと、素数列を一括で生成できるため、より簡潔に双子素数を抽出できます。

from sympy import primerange


def find_twin_primes(limit):
    """limit 以下の双子素数 (p, p+2) をリストアップする関数"""
    primes = list(primerange(2, limit+1)) # 2からlimitまでの素数を生成
    twin_primes = [] # 双子素数のペアを保存するリスト
    # iとi+1の素数の差分を比較するので、リストの個数-1までループ
    for i in range(len(primes) - 1):
        if primes[i+1] - primes[i] == 2: # 差分が2だったら双子素数
            twin_primes.append((primes[i], primes[i+1])) 

    return twin_primes


if __name__ == '__main__':
    limit = 10000
    twin_primes = find_twin_primes(limit)
    print(f"{limit} 以下の双子素数の個数 : {len(twin_primes)}")
    print(f"{limit} 以下の双子素数: {twin_primes}")

次にRustで作成します。

// 素数判定を行う関数
fn is_prime(n: u32) -> bool {
    // 2未満の数は素数ではない
    if n < 2 {
        return false;
    }
    // 2から√nまでの数で割り切れるか調べる
    let sqrt_n = (n as f64).sqrt() as u32;
    for i in 2..=sqrt_n {
        if n % i == 0 {
            // 割り切れたら素数ではない
            return false;
        }
    }
    // 割り切れる数がなければ素数
    true
}

// limit 以下の双子素数 (p, p+2) をリストアップする関数
fn find_twin_primes(limit: u32) -> Vec<(u32, u32)> {
    let mut twin_primes = Vec::new();
    // pとp+2を調べるので、2からlimit-2までループ
    for p in 2..=limit - 2 {
        if is_prime(p) && is_prime(p + 2) {
            twin_primes.push((p, p + 2));
        }
    }
    twin_primes
}

fn main() {
    let limit: u32 = 10000;
    let twin_primes = find_twin_primes(limit);
    println!("{} 以下の双子素数の個数 : {}", limit, twin_primes.len());
    println!("{} 以下の双子素数: {:?}", limit, twin_primes);
}

Python版とほぼ同じロジックを、Rustの構文に沿って実装したものです。is_prime 関数と find_twin_primes 関数を定義し、定義に忠実な方法で双子素数を探索しています。

双子素数の判定法 – クレメンスの双子素数判定法

クレメンスの双子素数判定法を紹介する前に、1つ数学的な記号を導入しましょう。

a \equiv b ~ \pmod m

この合同式の定義は、次のように言い換えることもできます：

a \equiv b \pmod m \iff a - b \textrm{はmの倍数}

なぜなら、
a = mx + r、b = my + rのように書ける時、
a – b = m (x – y )となり、これはmの倍数になるからです。

合同式のイメージをつかむために例をあげましょう

では、いよいよクレメンスの定理（Clement, 1949）を紹介します。

4((n-1)! + 1) + n \equiv 0 \mod n(n+2)

この定理の証明には、別の記事で紹介予定の「ウィルソンの定理」という素数判定に関する有名な定理が使われます。

クレメンスの定理はその美しい数式構造ゆえに注目されますが、
一方で(n-1)!の計算が非常に重くなるため、実用的な素数判定法としては非効率です。
現代のコンピュータをもってしても、大きなnに対しては高速とはいえません。

以下のコードでは、クレメンスの双子素数判定法に基づいて双子素数を判定・列挙しています。

import math


def is_twin_prime_clement(n):
    """
    クレメンスによる双子素数判定
    (n, n+2) が双子素数である ⇔ 4((n-1)! + 1) + n ≡ 0 mod n(n+2)
    """
    #if n < 3 or n % 2 == 0:
        #return False  # nは3以上の奇数である必要がある

    factorial_part = math.factorial(n-1)  # (n-1)!を計算
    lhs = 4 * (factorial_part + 1) + n  # クレメンスの判定法の左辺を計算
    modulus = n * (n + 2) # 割る数を計算
    return lhs % modulus == 0


def find_twin_primes(limit):
    """limit 未満の双子素数 (p, p+2) をリストアップする関数"""
    twin_primes = []
    # 1は素数ではないので、2以上からlimit未満まで調べる
    for p in range(2, limit):
        if is_twin_prime_clement(p): # クレメンスの判定法を使用して、双子素数であればリストに追加
            twin_primes.append((p, p + 2))
    return twin_primes


if __name__ == '__main__':
    limit = 10000
    twin_primes = find_twin_primes(limit)
    print(f"{limit} 以下の双子素数の個数 : {len(twin_primes)}")
    print(f"{limit} 以下の双子素数: {twin_primes}")

このコードでは、is_twin_prime_clement 関数がクレメンスの合同式を計算して、
その結果が合同（\equiv）を満たすかどうかを判定しています。
math.factorial 関数は Python 標準ライブラリ math モジュールに含まれており、引数として与えた整数の階乗を返します。

■実行時間の比較

• 定義ベースの双子素数判定：約 0.016 秒
• クレメンスの双子素数判定法による判定：約 8.19 秒

この差は、階乗計算にかかるコストの大きさによるものです。
クレメンスの定理は数学的には非常に美しく、かつ必要十分条件を与える貴重な定理ですが、高速な判定を目的とするには不向きです。

クレメンスの定理を通して、「理論的な美しさ」と「計算上の実用性」が一致するとは限らないことが実感できます。
こうしたギャップこそが、数学を単なる道具以上のものにしてくれる面白さでもあります。

「双子素数予想」 – 数学最大の謎の1つ –

素数が無限に存在することは、古代ギリシャの偉大な数学者ユークリッドによって証明された、美しくも揺るぎない事実です。（詳しくは「素数っていくつあるの？」にて）

では、その特別なペアである「双子素数」も、同じように無限に存在するのでしょうか？

このシンプルな問いこそ、数学の歴史上、最も深く、そして難解な謎の一つです。
驚くべきことに、その答えは——

「まだ、誰も知らない」のです。

世界中の数学者が「双子素数は無限に存在するはずだ」と固く信じています。しかし、2000年以上の時を経た今も、その証明は誰一人として成し遂げていません。

これこそが、数学における最も有名な未解決問題の一つ、「双子素数予想」です。

なぜ、「双子素数予想」の証明はこれほど難しいのでしょう？

ユークリッドの「素数が無限にある」ということの証明は、既存の素数から新しい素数を作り出すという、比較的シンプルなものでした。

しかし、その方法では新しく見つかった素数が「どこに」出現するかまでは分かりません。
すぐ隣に別の素数がいる保証は全くありません。

数が大きくなるほど、素数の出現密度は低くなるため、間隔が「2」という奇跡的なペアが無限に続くことを示すのは、全く次元が違う難しさです。

21世紀の衝撃! 張益唐 (Yitang Zhang)による歴史的ブレイクスルー

古くから知られていたとされる「双子素数予想」ですが、長い間まったく進展がありませんでした。
多くの数学者が、「これはもしかすると、証明不可能かもしれない」とさえ感じていたほどです。

そんな閉塞感の中で、2013年に一人の数学者が世界を震撼させます。
その名は──張益唐（Yitang Zhang）。
彼が発表した論文の中で示した結果は、こうです：

「間隔が7000万以下の素数ペアは無限に存在する」

これは、双子素数（間隔が2の素数ペア）が無限に存在することを直接証明したわけではありません。
ですので、「えっ、結局、双子素数予想は解決してないの？」と思う人もいるかもしれません。

しかし、この結果が持つ意味は非常に深く、数学界にとって歴史的なブレイクスルーでした。

それまでの数学者たちは、ゴールが見えないマラソンを走っているような状態でした。

「間隔2の素数ペアが無限にある」というゴールを目指してはいるものの、はるか手前にありそうな「間隔100の素数ペアが無限にある」や「間隔10000の素数ペアが無限にある」さえ誰も証明できていなかったのです。

そもそも、ゴールが存在するのかすら分からない。

「数が大きくなると素数はどんどん離れてしまい、もう二度と近づかないのでは…」という不安さえありました。

そこに突如現れたのが、張益唐博士の結果です。
「どんなに大きな数の世界に行っても、”7000万”より狭い間隔の素数ペアは絶対に無限に存在する!」

このインパクトは計り知れません。
マラソンにたとえれば、こうです：
「ゴールテープは確かにある！今までは見えなかったけど、ついにその存在を誰かが示した！」

つまり、それまで闇雲に走っていた状態から、
「よし、まずは7000万の位置にあるゴールテープを見つけた。
あとは皆で、それを“2”の位置（双子素数）まで少しずつ引き寄せていこう！」という流れに変わったのです。

これまで数学者たちは、暗闇の中を手探りで進んでいました。
そこに突然、確かな道筋を照らす光が差し込んだのです。
だからこそ、この論文は数学界を揺るがす大ニュースとなりました。

張益唐博士の結果は、双子素数予想の解決に向けた第一歩。
それはまさに、21世紀の数学が踏み出した歴史的な一歩だったのです。

「双子素数予想」に関するその後の進展

張益唐博士の成果は、数学界に大きな希望をもたらしました。

その流れを受けて、テレンス・タオ（Terence Tao）をはじめとする世界的な数学者たちが協力を呼びかけ、
「素数の間隔をどこまで小さくできるか？」
をテーマにした共同研究プロジェクトが立ち上がります。

それが、ポリマス・プロジェクト（Polymath Project）です。

このプロジェクトは、オンライン上で世界中の数学者が議論・検証・証明を分担しながら進めるという、これまでにないスタイルの協働型数学研究でした。

その成果は驚くべきもので、張博士が示した「7000万」という間隔は、
わずか1年ほどで「246」まで縮められるという快挙が成し遂げられました。

また、その後の研究では「エリオット・ハルバーシュタム予想（Elliott–Halberstam conjecture）」というものが正しいと仮定すれば、
「間隔が12以下の素数ペアが無限に存在する」
ことを示すことも可能であるとされています。

つまり、未解決とはいえ「双子素数予想」（間隔2の素数ペアが無限にあるか）に、
理論的にはぐっと近づいたのです。

まだ「2」という目標には到達していませんが、
長年停滞していたこの難問は、張益唐という1人の数学者の登場をきっかけに、
世界中の数学者の協力によって、劇的に前進しはじめました。

「1人のひらめき」と「多くの知恵」が結びついたこの現代的な進展こそ、
21世紀の数学の新しい可能性を示しているといえるでしょう。

まとめ

本記事では、以下のような数学の魅力的な旅路をたどりました：

1. 双子素数の定義と性質：差が 2 の素数ペアとは何か。「6の倍数 ±1」型という構造から、その中の謎を探求しました。
2. 合同式とClementの双子素数判定法：双子素数を構造的に判定できる美しい数学的定理を紹介し、Python で実装しました。
3. プログラムによる比較：定義ベースと階乗を使った判定法の実行速度の違いから、数学的美しさと実用性のギャップを体験しました。
4. 現代の飛躍的進展：張益唐博士による「間隔 \leq70,000,000 の素数ペアは無限に存在する」という衝撃的発見から始まり、Polymath プロジェクトによる 「246」への大幅な改善までを追いました。

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MSK

数学・プログラミング・ゲーム制作が大好きな30代エンジニア。 趣味でUnityやC言語を使って数学を可視化したり、小さなアプリを作ったりしています。 教育・学びの楽しさにも関心があります。

BLOG：https://www.mochinoki-labo.com