友愛数入門! 数の面白シリーズ!

n \geq 2より、p,q,r \geq 3であるので、仮定より2,p,q,rはすべて異なる素数である。

約数の総和を求める式を使うと、2^npqの約数の総和は以下になります。

(1+2+\cdots+2^n)(1+p)(1+q)

(1+2+\cdots+2^n)は初項1、公比2、項数n+1の等比数列の和なので、2^{n+1}-1となります。

1+p = 1 + 3 \times 2^{n-1} – 1 = 3 \times 2^{n-1}

1+q = 1 +3 \times 2^n -1 = 3 \times 2^n

よって、

(1+2+\cdots+2^n)(1+p)(1+q) \\= (2^{n+1}-1 ) \times 3 \times 2^{n-1} \times 3 \times 2^n \\ = (2^{n+1}-1 ) \times 9 \times 2^{2n-1} \\ = 9 \times2^{3n}-9\times 2^{2n-1} ・・・①

友愛数は自分自身を除く約数の和がもう一方の数と等しいことだったので、①から自分自身を引く必要があります。
そのため、2^npqを計算します。

2^npq \\ = 2^n \times (3 \times 2^{n-1} – 1) \times (3 \times 2^n -1) \\= 2^n (9 \times 2^{2n-1} – 3 \times 2^{n-1} – 3 \times 2^n + 1) \\=2^n (9 \times 2^{2n-1} – 9 \times 2^{n-1} + 1) \\=9 \times 2^{3n-1} – 9 \times 2^{2n-1} + 2^n ・・・②

①から②を引くと、9 \times 2^{3n-1} – 2^n \\=2^n(9 \times 2^{2n-1} – 1) = 2^n rとなり、もう片方の数に等しくなります。

もう一方の2^n rの方も同様に計算をしていきます。

2^n rの約数の総和は公式により、以下のようになります。

(1+2+\cdots+2^n)(1+r)

1+r = 9 \times 2^{2n-1}なので、
(1+2+\cdots+2^n)(1+r) \\= (2^{n+1}-1) \times 9 \times 2^{2n-1} \\= 9 \times 2^{3n} – 9 \times 2^{2n-1}

ここから、自分自身である2^n r = 9 \times 2^{3n-1} – 2^nを引きます。

(9 \times 2^{3n} – 9 \times 2^{2n-1}) – (9 \times 2^{3n-1} – 2^n) \\= 2^n(9 \times 2^{2n-1} – 9 \times 2^{n-1} + 1) ・・・③

ここで、2^npqの計算 (②の１つ上の式)を見ると③が2^npqに等しいことが分かります。

よって、2^n rの約数の総和から2^n rを引いた数は2^npqに等しくなります。

以上より、(2^npq,2^nr)は友愛数の組になります。